摘  要  通常壓裂后氣井產(chǎn)能的計(jì)算模型都是針對(duì)穩(wěn)態(tài)滲流過(guò)程的，傾向于計(jì)算無(wú)阻流量和穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量，而對(duì)于整個(gè)動(dòng)態(tài)生產(chǎn)過(guò)程的模擬則較少被提及。為此，根據(jù)復(fù)位勢(shì)理論和勢(shì)的疊加原理，再結(jié)合壓裂后水平氣井的裂縫形態(tài)和氣體的流動(dòng)過(guò)程，用嚴(yán)格的滲流力學(xué)方法推導(dǎo)出了具有較廣泛適應(yīng)性的壓裂水平氣井生產(chǎn)動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)公式。該預(yù)測(cè)公式既能用于存在縫間干擾的情況，又能夠在壓裂水平氣井裂縫兩翼非對(duì)稱、間距不相等、方位角任意的情況下使用。應(yīng)用該公式對(duì)吉林油田某水平氣井進(jìn)行了實(shí)例計(jì)算，計(jì)算值和實(shí)際值的誤差為2.62，并且通過(guò)預(yù)測(cè)公式能夠很好地模擬分析裂縫方位、裂縫條數(shù)、裂縫長(zhǎng)度、裂縫導(dǎo)流能力、裂縫間距等裂縫參數(shù)對(duì)壓裂水平氣井的產(chǎn)量影響，能夠滿足現(xiàn)場(chǎng)預(yù)測(cè)產(chǎn)量的需求。

關(guān)鍵詞  天然氣  水平井  生產(chǎn)動(dòng)態(tài)  水力壓裂  產(chǎn)量  數(shù)學(xué)模型  預(yù)測(cè)

壓后水平氣井產(chǎn)能的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)對(duì)壓裂水平井的優(yōu)化設(shè)計(jì)和經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)有重要的影響，許多專家學(xué)者對(duì)此也進(jìn)行了研究^[1-4]。但在壓裂過(guò)程中，由于地應(yīng)力在水平井長(zhǎng)度方向上的差異以及壓裂工藝技術(shù)的限制，使得形成的多條裂縫在長(zhǎng)度、導(dǎo)流能力等方面可能會(huì)不相同；同時(shí)在生產(chǎn)過(guò)程中各條裂縫間要發(fā)生相互干擾，進(jìn)一步增加了壓后水平氣井產(chǎn)能計(jì)算的復(fù)雜性。因此，筆者推導(dǎo)出的壓裂水平氣井生產(chǎn)動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)公式對(duì)壓后水平氣井的產(chǎn)能預(yù)測(cè)有重要意義。

1  模型建立

1.1物理模型

考慮圓形封閉均質(zhì)地層中心的1口井在壓裂后形成的多條裂縫時(shí)，其流動(dòng)過(guò)程分為兩個(gè)部分：氣體從地層流向裂縫滿足線性流(圖1)；氣體從裂縫流向水平井筒滿足氣體的平面徑向流(圖2)。此為壓裂氣井產(chǎn)能計(jì)算的基礎(chǔ)。

1.2數(shù)學(xué)模型

圓形封閉均質(zhì)地層中一點(diǎn)匯(x，y)以定產(chǎn)量q_sc生產(chǎn)時(shí)在地層中任一點(diǎn)(x₀，Y₀)處產(chǎn)生的壓降公式^[5]為：

在時(shí)間間隔很小的時(shí)候，式(1)可以用于實(shí)際產(chǎn)量的計(jì)算。由于水平井筒不一定沿最小主應(yīng)力方向，所以水平井筒可能和裂縫成任意夾角，以水平井筒的井軸的方向?yàn)?span lang="EN-US">y軸方向，假設(shè)第i條裂縫與水平井筒的夾角為a (i)(0°≤a≤90°)，如圖3將兩翼裂縫都分成n等份^[6]，每一份可看成一個(gè)點(diǎn)匯。此時(shí)，就把每一個(gè)點(diǎn)匯的坐標(biāo)與裂縫的長(zhǎng)度和裂縫方位角a(i)聯(lián)系了起來(lái)。

設(shè)第i條裂縫起裂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，y_fi)，左翼裂縫長(zhǎng)度為x_fli，右翼裂縫長(zhǎng)度為x_fri，則據(jù)此可求出第i條裂縫左翼和右翼上第j個(gè)點(diǎn)匯的坐標(biāo)(取該小段中點(diǎn)坐標(biāo))。然后把各條裂縫上各個(gè)點(diǎn)匯的坐標(biāo)代入式(1)，在考慮體積系數(shù)的情況下把它化為直角坐標(biāo)系，并利用貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)可得第i條裂縫t時(shí)刻在地層中任意一點(diǎn)(x，y)處產(chǎn)生的壓降，最后根據(jù)勢(shì)的疊加原理就可求出n條裂縫t時(shí)刻在地層任意一點(diǎn)(x，y)處產(chǎn)生的壓降，即

假設(shè)第k條裂縫的產(chǎn)量為q_fk，左右兩翼的長(zhǎng)度分別為x_fli、x_fri，所以得到第k條裂縫左翼和右翼上第j個(gè)點(diǎn)匯的產(chǎn)量q_flkj和q_frkj把左右兩翼上第j個(gè)點(diǎn)匯的產(chǎn)量和第i條裂縫左右兩翼的尖端坐標(biāo)代人式(2)，可以得到第k條兩翼尖端的壓力降，因?yàn)榱芽p的兩翼可能不對(duì)稱，所以取兩翼尖端壓力的平均值作為裂縫的尖端壓力。

根據(jù)面積相等可得(x_fli+ x_fri)h=nR_i²(式中x_fli、x_fri分別為第i條裂縫的左右翼的長(zhǎng)度，R_i為氣藏的當(dāng)量半徑)，所以第i條裂縫的流動(dòng)可以看成是流動(dòng)半徑為R_i,其中，地層厚度為ω_i，邊界壓力的平方為裂縫尖端壓力平方p²(x_fi，y_fi，t)，井底流壓為水平井井筒內(nèi)壓力p_wfi的微型氣藏^[7]，其流動(dòng)方式可以看成是氣藏的平面徑向流。根據(jù)氣井產(chǎn)能計(jì)算公式，可以把氣體由裂縫向井筒的滲流過(guò)程表示為：

因?yàn)榱黧w在水平井筒內(nèi)的壓力損失比基質(zhì)中的小，所以可以近似的認(rèn)為裂縫底部的壓力就等于水平井筒內(nèi)的壓力。結(jié)合上述公式，可得氣體從地層到井筒整個(gè)流動(dòng)過(guò)程的滲流方程，即

2滲流方程求解

采用vb和vba編程語(yǔ)言編制程序?qū)ι鲜霎a(chǎn)能計(jì)算模型進(jìn)行求解，其中用牛頓迭代法求出方程中氣體的相關(guān)參數(shù)，再將n條裂縫的各微元段累加求和，并把同一條裂縫前面的系數(shù)合并，然后根據(jù)解矩陣方程的LU算法^[8]求出各條裂縫的產(chǎn)量，最后進(jìn)行求和就可得到整口井的總產(chǎn)量。

3計(jì)算實(shí)例分析

3.1產(chǎn)能模擬預(yù)測(cè)

應(yīng)用筆者所建立的模型對(duì)吉林油田某水平氣井進(jìn)行模擬計(jì)算，將輸出結(jié)果和實(shí)際產(chǎn)量進(jìn)行對(duì)比。

基本輸入?yún)?shù)：氣藏厚度9.144 m，地層壓力28.889 MPa，地層滲透率0.001 5 D，井筒半徑0.0762 m，井底流壓23.548 MPa，體積系數(shù)0.02，裂縫半翼長(zhǎng)度100 m，裂縫寬度0.003 m，裂縫滲透率50D，裂縫間距100 m，裂縫方位角90^。，裂縫條數(shù)3條，生產(chǎn)時(shí)間365 d，孔隙度0.05，邊界半徑1000 m，地層溫度395.6 K，天然氣相對(duì)密度0.58。按照本模型軟件計(jì)算結(jié)果如下。

從圖4中可以看出在壓裂水平井中初始產(chǎn)量一般相對(duì)較高且隨時(shí)間遞減較快，在生產(chǎn)40～50 d后遞減速率才趨于平穩(wěn)。通過(guò)計(jì)算預(yù)測(cè)年均日產(chǎn)量為34.460 9×10⁴ m³，實(shí)際生產(chǎn)時(shí)的年均日產(chǎn)量為33.564 9×10⁴ m³，實(shí)際產(chǎn)量和預(yù)測(cè)產(chǎn)量的誤差為2.6％。從上面數(shù)據(jù)可以看出實(shí)際產(chǎn)量和模擬產(chǎn)量存在一定差別，這主要是模擬計(jì)算受到提供的裂縫間距、裂縫方位角和表皮系數(shù)等參數(shù)的影響。另外，實(shí)際生產(chǎn)時(shí)，還會(huì)存在兩種微弱的壓力降：氣體在水平井筒內(nèi)流動(dòng)的摩阻壓降^[9]及從裂縫進(jìn)入水平井筒時(shí)產(chǎn)生的加速度壓降，它們對(duì)于模擬計(jì)算結(jié)果也會(huì)產(chǎn)生一定的影響。

3.2裂縫參數(shù)對(duì)產(chǎn)能影響狀況分析

在前面相同的油藏參數(shù)基礎(chǔ)上，分別改變裂縫長(zhǎng)度、裂縫寬度、裂縫滲透率、裂縫問(wèn)距和方位角等輸人參數(shù)，利用本模型可以模擬各個(gè)裂縫參數(shù)的變化對(duì)壓裂水平氣井產(chǎn)量的影響情況。

從圖5、6可以看出壓裂水平氣井的產(chǎn)量是隨著裂縫條數(shù)和裂縫長(zhǎng)度的增加而增加，但是當(dāng)裂縫條數(shù)增加到一定大小時(shí)，壓裂井的產(chǎn)量增加并不明顯。因此并不是裂縫條數(shù)越多、裂縫長(zhǎng)度越長(zhǎng)，裂縫的產(chǎn)量就越高。因?yàn)楫?dāng)裂縫的條數(shù)過(guò)多、裂縫長(zhǎng)度過(guò)長(zhǎng)時(shí)，裂縫間的相互干擾作用就會(huì)越嚴(yán)重。

由圖7可以看出隨著裂縫平面與水平井筒夾角的增大，壓裂水平氣井的產(chǎn)量是增加的。這是因?yàn)楦鳁l裂縫之間的垂直距離變大，使得各條裂縫之間的相互干擾減弱，這就增大了每一條裂縫的有效泄流面積，增加了每條裂縫的產(chǎn)量，促使了壓裂氣井產(chǎn)量的增加。

綜合圖8～10可以得知：壓裂水平氣井的產(chǎn)量是隨著裂縫寬度和裂縫滲透率的增加而增加，并且增長(zhǎng)效果顯著。但是隨著滲透率和寬度的逐漸加大，產(chǎn)量增加的幅度在減??；裂縫間距的增加也會(huì)引起產(chǎn)量的增加。因此，在壓裂方案設(shè)計(jì)和實(shí)際施工時(shí)應(yīng)把握好主要因素，使各參數(shù)的數(shù)值控制在合理的范圍內(nèi)，最大限度地提高氣井產(chǎn)量。

4  結(jié)論

1)筆者在復(fù)位勢(shì)理論和勢(shì)的疊加原理等基本滲流理論的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出了均質(zhì)圓形封閉邊界氣藏壓裂水平井的生產(chǎn)動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)公式。該模型公式具有很好的適用性，它能夠用于非對(duì)稱裂縫、不等距裂縫、任意縫長(zhǎng)組合裂縫、任意導(dǎo)流能力組合裂縫和任意方位角裂縫壓裂水平氣井的產(chǎn)量模擬計(jì)算。應(yīng)用該公式對(duì)吉林油田某水平氣井進(jìn)行了實(shí)例計(jì)算，計(jì)算值和實(shí)際值的

誤差為2.6％，說(shuō)明了該預(yù)測(cè)公式準(zhǔn)確性較高能夠滿足現(xiàn)場(chǎng)要求。

2)通過(guò)本預(yù)測(cè)公式能夠很好地模擬分析裂縫方位、裂縫條數(shù)、裂縫長(zhǎng)度、裂縫導(dǎo)流能力、裂縫間距等裂縫參數(shù)對(duì)壓裂水平氣井的產(chǎn)量影響。

3)該預(yù)測(cè)公式考慮了水平氣井壓開多條裂縫時(shí)可能存在的縫間干擾能夠很好地聯(lián)系生產(chǎn)實(shí)際，計(jì)算速度快，求得的解穩(wěn)定可靠。在多裂縫水平氣井中具有較高的應(yīng)用價(jià)值。

符號(hào)說(shuō)明

p_i為原始地層壓力，MPa；p(x，y，t)為平面上的點(diǎn)(x，y)處t時(shí)刻地層的壓力，MPa；p(-)為氣藏平均壓力，MPa；q_sc為標(biāo)準(zhǔn)狀況下點(diǎn)匯處氣體的體積流量，l0⁴ m³／d；μ(-)為平均壓力和溫度下的氣體的黏度，mPa·s；B_g為地下氣體的體積系數(shù)，無(wú)量綱；K為氣層滲透率，D；h為產(chǎn)層厚度，m；x₀、y₀分別為點(diǎn)匯的坐標(biāo)，m；T為氣層溫度，K；r_e為封閉外邊界半徑，m；t為滲流時(shí)間，h；Z(-)為平均溫度和壓力下的天然氣偏差因子，利用D-A-K方法求；η為地層導(dǎo)壓系數(shù)，μm²·MPa／(mPa·s)，η=K/(μC_φ)；a_n為方程X的根；J₁、Y₁為第一類、第二類一階貝塞爾函數(shù)。

參考文 獻(xiàn)

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本文作者：李勇明  李亞洲  趙金洲  張烈輝

作者單位： “油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程”國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室·西南石油大學(xué)