摘 要

摘　要：將氣井不穩(wěn)定流動(dòng)階段的產(chǎn)量、壓力等生產(chǎn)數(shù)據(jù)處理為產(chǎn)量修正的擬壓力差與擬時(shí)間，利用兩者間的線性關(guān)系可以確定出裂縫長度、地層滲透率等參數(shù)，據(jù)此評(píng)價(jià)氣井壓裂效果、預(yù)

摘　要：將氣井不穩(wěn)定流動(dòng)階段的產(chǎn)量、壓力等生產(chǎn)數(shù)據(jù)處理為產(chǎn)量修正的擬壓力差與擬時(shí)間，利用兩者間的線性關(guān)系可以確定出裂縫長度、地層滲透率等參數(shù)，據(jù)此評(píng)價(jià)氣井壓裂效果、預(yù)測氣井生產(chǎn)動(dòng)態(tài)。為了準(zhǔn)確計(jì)算擬時(shí)間值，通過引入動(dòng)邊界概念，將探測邊界視為壓力擾動(dòng)的外邊緣，利用積分方法求解滲流偏微分方程，得到由氣井生產(chǎn)引起的探測邊界傳播規(guī)律，結(jié)合物質(zhì)平衡方程獲得探測范圍內(nèi)的平均地層壓力，并借助迭代算法確定不同生產(chǎn)時(shí)刻對應(yīng)的氣體擬時(shí)間。結(jié)果表明：與擬時(shí)間相比，直接使用真實(shí)時(shí)間分析生產(chǎn)數(shù)據(jù)，定壓生產(chǎn)時(shí)引起直線斜率偏小，且生產(chǎn)壓差越大偏差程度越明顯，定產(chǎn)生產(chǎn)時(shí)導(dǎo)致數(shù)據(jù)線性相關(guān)性變差，氣井產(chǎn)量越高相關(guān)系數(shù)越低；在變產(chǎn)量生產(chǎn)時(shí)，利用物質(zhì)平衡擬時(shí)間能夠消除氣體高壓物性和變產(chǎn)量帶來的非線性影響，明確生產(chǎn)數(shù)據(jù)間的線性關(guān)系，壓裂參數(shù)的計(jì)算結(jié)果更為合理。

關(guān)鍵詞：氣井  線性流  探測邊界  平均地層壓力  擬時(shí)間  生產(chǎn)數(shù)據(jù)  裂縫長度

Analysis of the unsteady production data of a gas well based on pseudo-time function

Abstract：The per-well performance data like productivity，pressure，etc．at the unsteady stage of the well production are processed as rate-normalized pseudo pressure and pseudo time．In order to evaluate the fracturing effect and predict the per-well performance,we need to determine the fracture length and formation permeability，etc．through utilizing the slope of a square-root-time plot(a plot of rate-normalized pressure vs．square root of pseudo time)．But the actual value of pseudo time is hard to obtain．Therefore，based on the concept of moving boundary，the distance of investigation was regarded as the region obviously affected by pressure disturbance．An approximate solution to the propagation rule of investigation boundary was obtained by an integral method at a variable rate condition，which was used to calculate the average pressure within the investigation region．The pseudo time value was thus calculated with the help of the corresponding iterated algorithm．The results showed that the slope of a square root time plot is smaller than that of a square root pseudo time plot at constant pressure conditions，while the plot of square root time derivates from the expected straight line at constant rate conditions，where the degree of these deviations is determined respectively by flowing pressure drop and production rate．At variable rate conditions，a distinct linear relationship in the plot could be observed by incorporating the material balance pseudo time，which results in a reliable calculated result of fracture length．

Keywords：gas well，linear flow，distance of investigation，average formation pressure，pseudo time，production data，fracture length

對于頁巖氣、致密氣等非常規(guī)氣藏，水平井輔以分段壓裂技術(shù)能夠增大地層接觸面積，減小滲流阻力，提高氣井產(chǎn)能，同時(shí)也將引起持續(xù)數(shù)年的不穩(wěn)定線性流動(dòng)期^[1-4]。將日常生產(chǎn)數(shù)據(jù)處理為產(chǎn)量修正的生產(chǎn)擬壓差、擬時(shí)間，以反映出的流態(tài)特征為診斷工具，利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式能夠獲取不同的參數(shù)，以此來評(píng)價(jià)壓裂效果與預(yù)測氣井產(chǎn)量^[5-6]。

但是，氣體擬時(shí)間計(jì)算中涉及的平均地層壓力往往難以確定。Agrwal^[7]和Mattar^[8]分別利用壓力迭代法和地質(zhì)儲(chǔ)量迭代法確定平均地層壓力，但都只適用于擬穩(wěn)態(tài)生產(chǎn)階段；Anderson^[9]為提出使用探測邊界內(nèi)平均地層壓力的觀點(diǎn)，隨后Nobakht等^[10-11]給出了利用物質(zhì)平衡方程結(jié)合探測邊界傳播規(guī)律的求解思路，該方法雖然突破了擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)條件的限制，但難以應(yīng)用到更具實(shí)際意義的變產(chǎn)量生產(chǎn)情況。

這樣，如何計(jì)算變產(chǎn)量下的探測邊界移動(dòng)規(guī)律成為合理分析生產(chǎn)數(shù)據(jù)的關(guān)鍵。傳統(tǒng)探測邊界公式是基于不穩(wěn)定滲流研究的結(jié)果，多是通過脈沖波的最大響應(yīng)位置^[12-13]或聯(lián)立不穩(wěn)定與擬穩(wěn)態(tài)壓力導(dǎo)數(shù)^[14-15]確定。這些公式形式基本一致，均認(rèn)為探測邊界移動(dòng)速度與氣井工作制度無關(guān)，但Wattenbarger^[16]計(jì)算表明，定壓和定產(chǎn)下的探測邊界公式并不相同。鑒于此，筆者借助低滲透儲(chǔ)層中的“動(dòng)邊界” ^[17-19]概念，將探測邊界視為壓力擾動(dòng)的外邊緣，通過積分方法獲得變產(chǎn)量下的探測邊界通用表達(dá)式，利用Nobakht方法計(jì)算平均地層壓力，并給出相應(yīng)迭代算法計(jì)算氣體擬時(shí)間函數(shù)，同時(shí)對比分析使用真實(shí)時(shí)間對線性關(guān)系產(chǎn)生的影響，進(jìn)而利用擬時(shí)間分析氣井不穩(wěn)定生產(chǎn)數(shù)據(jù)，計(jì)算壓裂參數(shù)。

1　探測邊界內(nèi)的平均地層壓力

1．1　探測邊界模型及近似解

致密介質(zhì)滲透率極低，無自然產(chǎn)能，氣體只有在壓裂區(qū)域(SRV)內(nèi)才能夠發(fā)生有效流動(dòng)。假設(shè)各條裂縫等長、等間距分布，SRV區(qū)域內(nèi)的滲流可以等效為一系列的線性流模型^[20-22]。

借助低滲透“動(dòng)邊界”概念研究探測邊界問題：假定地層均質(zhì)，含氣飽和度100％，氣體全部為CH4，忽略重力和毛細(xì)管力的影響，不考慮地層孔隙的可壓縮性，壓力只在探測邊界內(nèi)傳播。利用無量綱量處理氣體擬壓力控制方程，其中變產(chǎn)量下無量綱定義為：

 

 

則擬壓力為：

 

式中K為滲透率，mD；h為地層厚度，m；j為地層孔隙度；mg為氣體黏度，mPa·s；Bg為氣體體積系數(shù)；cg為氣體壓縮系數(shù)，Mpa^-1；Zg為氣體偏差因子；T為地層溫度，K；y為空間坐標(biāo)，m；yf為動(dòng)邊界空間位置，m；xf為裂縫半長，m；qsc為氣井產(chǎn)量，m³／d；qref為參考產(chǎn)量，m³／d；Gp為累積產(chǎn)量，m³；p為地層壓力，MPa；t為生產(chǎn)時(shí)間，h；下標(biāo)sc為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)，psc=0.1MPa，Tsc=293.15K；下標(biāo)i為地層原始狀態(tài)；下標(biāo)D為無量綱量。

地層中的無量綱擬壓力控制方程滿足：

 

其中0≤yD≤yfD(tD)

壓力及探測邊界初始條件為：

mD(yD，0)=0            (3)

其中0≤yD≤yfD

yfD(0)=0

壓力及探測邊界邊界條件為：

 

由于探測邊界yfD隨時(shí)間而變化，直接求解(2)～(4)并非易事，這里采用近似求解方法。首先對控制方程(2)兩側(cè)先后關(guān)于空間變量(yD)和時(shí)間變量(tD)進(jìn)行積分，利用邊界條件將偏微分方程式(2)轉(zhuǎn)化為探測邊界內(nèi)物質(zhì)平衡方程：

 

考慮到初始條件式(3)及邊界條件式(4)，令方程式(5)的近似解滿足二階精度近似，即

 

上式中a0(tD)和ag1(tD)為待定系數(shù)，通過邊界條件可以得到探測邊界內(nèi)的壓力分布公式，即

 

將壓力近似解式(7)代入物質(zhì)平衡方程式(5)，可以得到探測邊界在地層中的移動(dòng)規(guī)律：

 

式(8)與經(jīng)典探測邊界公式相比，系數(shù)更大、時(shí)間修正為物質(zhì)平衡時(shí)間。利用式(8)可以得到任意生產(chǎn)制度下氣井探測邊界隨時(shí)間的移動(dòng)規(guī)律。

1．2　探測邊界內(nèi)平均地層壓力

從氣井流量來源的角度分析探測邊界的物理意義。氣井流量完全來自于地層孔隙內(nèi)氣體的彈性壓縮，以探測邊界作為空間劃分點(diǎn)，氣井流量由兩部分地層組成：探測邊界內(nèi)+探測邊界外。使用物質(zhì)平衡方程的理想條件為外邊界封閉，即探測邊界內(nèi)地層的流量供給占?xì)饩髁康?/span>100％，所以探測邊界以內(nèi)地層對氣井產(chǎn)量的供給比例決定著在探測邊界內(nèi)使用物質(zhì)平衡方程的準(zhǔn)確性。

本文參考文獻(xiàn)[16]給出了定流量探測邊界表達(dá)式yfD=(2tD)^1/2，定壓為yDf=(6tD) ^1/2，而利用式(8)得到的探測邊界定流量表達(dá)式為：yDf=(6tD) ^1/2。定壓：yDf=(6tDmb) ^1/2=(12tD) ^1/2。利用經(jīng)典解關(guān)于yD的導(dǎo)數(shù)可獲得不同位置處的流量qD(yD，tD)，通過計(jì)算qD(yD，tD)／qD (0，tD)比值獲得探測邊界內(nèi)地層對氣井流量的供給比例。其中本文參考文獻(xiàn)[16]定產(chǎn)條件下的計(jì)算結(jié)果為68.3％，定壓為63.9％，近似解式(8)分別為91.68％、95.02％。使用近似解增加了壓力擾動(dòng)的波及范圍，減小了探測邊界外地層的流量供給比重，提高了在探測邊界內(nèi)使用物質(zhì)平衡方程的精度。

利用式(8)并結(jié)合物質(zhì)平衡方程式(9)可以得到不同時(shí)刻探測邊界內(nèi)的平均地層壓力(pavg)，這是計(jì)算氣體擬時(shí)間函數(shù)的基礎(chǔ)。

 

其中，利用式(8)可獲得不同生產(chǎn)制度下的探測邊界內(nèi)地質(zhì)儲(chǔ)量(G)為：

 

2　氣體擬時(shí)間

氣體具有強(qiáng)可壓縮性，其黏度(mg)、偏差因子(Zg)、體積系數(shù)(Bg)等都是關(guān)于壓力的強(qiáng)非線性函數(shù)，如果直接對氣體滲流控制方程中的擴(kuò)散系數(shù)進(jìn)行強(qiáng)行近似必然會(huì)引起較大的誤差。使用擬時(shí)間函數(shù)(tg)能夠?qū)怏w滲流問題等效轉(zhuǎn)化為液體滲流問題，同時(shí)改進(jìn)了“強(qiáng)行近似擴(kuò)散系數(shù)(1／jmgcg)為常數(shù)”的假設(shè)條件，結(jié)果必然使得理論描述更接近于礦場實(shí)際情況，也方便液體研究領(lǐng)域內(nèi)成果的參考和借鑒。其中，擬時(shí)間定義為：

 

2．1　定壓生產(chǎn)

在定壓生產(chǎn)條件下，線性流動(dòng)階段的產(chǎn)量變化規(guī)律^[16]滿足1／qsc＝at^0.5。其中：

 

利用式(9)結(jié)合式(10)得到探測邊界內(nèi)的物質(zhì)平衡方程為：

 

式(13)表明探測邊界內(nèi)的平均地層壓力為常數(shù)，擬時(shí)間與真實(shí)時(shí)間關(guān)系簡化為：

 

用擬時(shí)間取代真實(shí)時(shí)間，產(chǎn)量和探測邊界內(nèi)的平均地層壓力重新修正式為：

 

其中，擬時(shí)間修正因子用來表示真實(shí)時(shí)間與擬時(shí)間的差異，定義為：

 

根據(jù)式(16)結(jié)合Newton迭代算法可以獲得不同生產(chǎn)壓差下的平均地層壓力。圖1計(jì)算了不同井底壓力(pw)下對應(yīng)的擬時(shí)間修正因子(fcp)。結(jié)果表明，pw越小，fcp越大，(mi-mw)／qsc-t斜率較(mi-mw)／qsc-ta偏小程度越明顯，直接使用真實(shí)時(shí)間分析生產(chǎn)數(shù)據(jù)的可靠性越差。

 

2．2　定產(chǎn)生產(chǎn)

定產(chǎn)生產(chǎn)時(shí)，同樣利用式(9)式(10)可以獲得探測邊界內(nèi)的物質(zhì)平衡方程：

 

為方便研究，這里做如下假設(shè)cg≈1／p，Zg=1，mg=常數(shù)，結(jié)合利用式(18)，可以得到擬時(shí)間與真實(shí)時(shí)間的近似關(guān)系式為：

 

則產(chǎn)量修正下的擬壓差(mi-mw)／qsc與真實(shí)時(shí)間t的線性關(guān)系應(yīng)滿足：

 

用圖2計(jì)算得到不同產(chǎn)量下的t^1/2與[m(pi)-m(pw)／qsc變化規(guī)律。結(jié)果表明：t^1/2與[m(pi)-m(pw)]／qsc在生產(chǎn)早期呈線性關(guān)系，隨著生產(chǎn)進(jìn)行逐漸偏離直線關(guān)系(線性相關(guān)系數(shù)變小)，偏離程度受氣井產(chǎn)量控制，產(chǎn)量越大偏離直線的起始時(shí)間越小，偏離程度越大(線性相關(guān)系數(shù)越小)，這將導(dǎo)致無法直接使用真實(shí)時(shí)間分析氣井生產(chǎn)數(shù)據(jù)。

 

2．3　變產(chǎn)量生產(chǎn)

物質(zhì)平衡時(shí)間(tmb)能夠較好地處理產(chǎn)量變化引起的時(shí)間疊加影響，但Palacio和Blasingame^[23]研究表明，tmb通常只在擬穩(wěn)定階段精確成立。將物質(zhì)平衡時(shí)間(tmb)修正為1.23tmb，物質(zhì)平衡時(shí)間在不穩(wěn)定流動(dòng)階段也能夠精確成立(表1)。

 

將式(20)中的擬時(shí)間(ta)替換為修正物質(zhì)平衡擬時(shí)間1.23tmba，可得到變產(chǎn)量條件下的解析表達(dá)式為：

 

物質(zhì)平衡擬時(shí)間表達(dá)式應(yīng)滿足：

 

其中，探測邊界內(nèi)的平均地層壓力通過下式確定，即

 

式(21)與式(23)中均含有未知量xf，這里采用迭代方法計(jì)算xf：

1)繪制[m(pi)-m(pw)／qsc與真實(shí)物質(zhì)平衡時(shí)間(tmb^1/2)的曲線，利用式(21)的線性關(guān)系式中的斜率(b)計(jì)算xf，作為初值。

2)使用式(23)計(jì)算生產(chǎn)數(shù)據(jù)記錄點(diǎn)處的平均地層壓力，形成t-pavg的數(shù)據(jù)表。

3)利用t-pavg數(shù)據(jù)表并結(jié)合式(22)，借助數(shù)值積分計(jì)算物質(zhì)平衡擬時(shí)間(tmba)，進(jìn)一步形成t-tmba數(shù)據(jù)表。

4)繪制各個(gè)時(shí)間點(diǎn)t對應(yīng)的[m(pi)-m(pw)1／qsc與物質(zhì)平衡擬時(shí)間(tmba^1/2)的線性關(guān)系式，確定斜率(b)，計(jì)算xf。

5)重復(fù)步驟(2)～(4)，直到xf收斂為止。

3　實(shí)例分析

以某壓裂水平氣井為例進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證。其中地層滲透率為0.187mD，厚度為11.7m，孔隙度為12.4％，原始地層壓力為28.95MPa，原始地層溫度為313.15K，水平段長度為1045m，壓裂10段，氣井生產(chǎn)歷史見圖3。

 

按照上述迭代算法分析氣井生產(chǎn)數(shù)據(jù)。圖4計(jì)算了不同時(shí)刻探測邊界移動(dòng)規(guī)律以及探測邊界內(nèi)的平均地層壓力，結(jié)果表明：隨著生產(chǎn)的進(jìn)行，探測邊界不斷向外傳播，傳播速度逐漸減慢，同時(shí)井底壓力不斷下降，探測邊界內(nèi)的平均地層壓力隨之下降。

 

圖5對比了使用物質(zhì)平衡時(shí)間和物質(zhì)平衡擬時(shí)間的計(jì)算效果：①直接使用物質(zhì)平衡時(shí)間，生產(chǎn)數(shù)據(jù)間的線性關(guān)系并不明顯，直線的線性相關(guān)系數(shù)較低，斜率整體偏低，同時(shí)呈現(xiàn)出定壓和定產(chǎn)情況的特征；②使用物質(zhì)平衡擬時(shí)間，能夠明確生產(chǎn)數(shù)據(jù)間的線性關(guān)系，此時(shí)擬合出的線性關(guān)系式是考慮了氣體高壓物性和產(chǎn)量變化共同作用的結(jié)果，更接近氣體的實(shí)際流動(dòng)情況。利用生產(chǎn)數(shù)據(jù)間的線性關(guān)系斜率(b)來計(jì)算壓裂長度(xf)：

 

 

由于圖5中物質(zhì)平衡擬時(shí)間對應(yīng)的直線斜率(btmba)大于物質(zhì)平衡時(shí)間斜率(btmb)，故使用真實(shí)時(shí)間分析氣井生產(chǎn)數(shù)據(jù)導(dǎo)致壓裂參數(shù)計(jì)算結(jié)果偏高，物質(zhì)平衡時(shí)間計(jì)算結(jié)果為xf=53.40m，物質(zhì)平衡擬時(shí)間計(jì)算結(jié)果為41.73m，為進(jìn)一步驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果，基于線性流動(dòng)模型重新計(jì)算井底壓力，同時(shí)對比實(shí)測壓力(圖6)。圖6表明，基于擬時(shí)間(xf=41.73m)解釋參數(shù)的預(yù)測結(jié)果更為合理，而真實(shí)時(shí)間(xf=53.40m)解釋結(jié)果則高估了氣井的實(shí)際生產(chǎn)能力，導(dǎo)致相同生產(chǎn)時(shí)間內(nèi)井底壓力的下降幅度更大。

 

4　結(jié)論

1)完整給出了考慮氣井產(chǎn)量變化和探測邊界影響的氣體滲流數(shù)學(xué)模型，用積分平均方法完成了近似求解，得到了探測邊界傳播規(guī)律的通用解析表達(dá)式，并通過對比經(jīng)典結(jié)果驗(yàn)證近似解的準(zhǔn)確性。

2)探測邊界公式中時(shí)間修正為物質(zhì)平衡時(shí)間，利用新公式計(jì)算的探測邊界內(nèi)地層儲(chǔ)存氣體對氣井產(chǎn)量貢獻(xiàn)率超過90％，高于Watterbarger結(jié)果，提高了在探測邊界內(nèi)使用物質(zhì)平衡方程的精度。

3)同修正擬壓差擬時(shí)間形成的線性關(guān)系式相比，定產(chǎn)條件下直接使用真實(shí)時(shí)間導(dǎo)致線性關(guān)系不成立，定壓條件下則引起直線斜率減小，其偏差程度分別由氣井產(chǎn)量及井底壓力決定。

4)在實(shí)際氣井生產(chǎn)中，氣體物質(zhì)平衡擬時(shí)間函數(shù)能夠明確生產(chǎn)數(shù)據(jù)間的線性關(guān)系，提高壓裂參數(shù)解釋結(jié)果的可靠性，為準(zhǔn)確評(píng)價(jià)水力壓裂效果提供理論支持。

 

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本文作者：王軍磊  賈愛林  甯波  蔣俊超

作者單位：中國石油勘探開發(fā)研究院