摘 要

摘　要：地層中礦物的種類及含量對地層礦物識別、巖性劃分、確定地層黏土含量與類型、計算骨架參數(shù)以及研究沉積環(huán)境等方面，均有著非常重要的意義。地殼中化學元素的豐度與礦物

摘　要：地層中礦物的種類及含量對地層礦物識別、巖性劃分、確定地層黏土含量與類型、計算骨架參數(shù)以及研究沉積環(huán)境等方面，均有著非常重要的意義。地殼中化學元素的豐度與礦物的形成及其化學成分有著密切的關系，通過確定元素含量和礦物含量之間的轉換關系，可以把元素含量轉換成礦物含量。根據(jù)不同的巖性選擇，建立從元素含量向礦物含量轉換的模型，通過相應的轉換關系，借助最小二乘方法和廣義逆矩陣求解線性方程組的方法，采用地層元素測井得到的元素含量，從而計算出地層中的礦物含量。通過對實際井資料的處理，將其計算結果與實驗室結果和斯倫貝謝計算結果進行對比，其結果表明：①轉換系數(shù)是病態(tài)矩陣時，最小二乘方法計算出的礦物含量不準確；②通過廣義逆矩陣計算得到的礦物含量的精確度較高，計算結果與實驗室結果誤差較小，且優(yōu)于斯倫貝謝計算結果，可以用于地層評價求取儲層參數(shù)。

關鍵詞：元素測井  元素含量  礦物含量  數(shù)學模型  轉換關系  轉換系數(shù)  方法對比  儲集層參數(shù)

A method for determining mineral content by formation element logging

Abstract：It is very important that the species and content of strata minerals can be used for identifying minerals，differentiating lithology，determining the clay content and species，calculating effective matrix parameters，and researching sedimentary environment．In addition，the abundance of chemical elements has a close relationship with the formation of minerals and their chemical composition in the crust．The elemental concentration can be converted into mineral content by determining the relationship between elemental concentration and mineral content，the model of which was then chosen and established on the basis of different lithologies．Then we calculated the mineral content in the formation based on ECS(Element Capture Spectroscopy)logging with the least squares method and generalized the inverse matrix method of solving the linear system of equations．The processing of some practical data was used to illustrate the effect of this method，and results were compared with the laboratory measured results and results computed by Schlumberger．On one hand，the result of the least squares method is imprecise when conversion factor is the ill conditioned matrix．On the other hand，the accuracy of the mineral content calculated by generalized inverse computation is higher than the results computed by Schlumberger，and also compared with the laboratory measured results，the error is smaller．This shows that this method can be used for obtaining reservoir parameters in formation evaluation．

Keywords：elemental logging，elemental concentration，mineral content，generalized inverse，conversion relationship，conversion coefficient，method comparison，reservoir parameters

地層中礦物的種類及含量對正確地進行地層評價有著非常重要的意義，但目前的條件下，很難精確地確定地層中的礦物種類及含量?；瘜W元素是形成礦物的物質基礎，地殼中化學元素的豐度與礦物的形成及其化學成分有著密切的關系。

地層中已發(fā)現(xiàn)的元素雖然有l00多種，但研究證實，各元素在地殼中分布是極不均勻的，只相對集中于少數(shù)幾種元素。其中O(46.13％)、Si(26.00％)、A1(7.45％)、Fe(4.20％)、Ca(3.25％)、Na(2.40％)、Mg(2.35％)、K(2.35％)、H(1.00％)等9種元素占地殼總質量的98.13％，其余元素僅占l.87％^[1]。同樣，盡管地殼巖石中已發(fā)現(xiàn)的礦物有2200多種，但其中常見的礦物種類只有10余種。因此，只要精確測量到這些主要元素的含量，就呵以鑒別地殼巖石中礦物的類型及含量^[2]。斯倫貝謝公司的ECS測井儀、哈里伯頓公司的GEM測井儀、貝克休斯的FLS測井儀，都可以精確測量地層中的主要元素的含量。當?shù)V物的化學成分比較穩(wěn)定時，礦物中各元素的百分含量基本保持不變，這是利用元素轉換成礦物的前提條件，也是選定礦物指示元素的前提條件。所以要把元素含量轉換成礦物含量，關鍵是確定合適的轉換關系，進而運用一定的數(shù)學算法求解礦物含量^[3]。筆者主要是在Herron所提出的轉換關系Ⅲ的基礎上，進行改進與應用，改進后的方法有更好的適用性和簡潔性，計算結果也具有較高的精度。

1　元素與礦物的轉換關系

Herron等人通過對大量巖心的中子活化分析和X射線衍射分析后，提出元素含量與礦物含量之間的定量關系。通過多元回歸分析確定元素含量與礦物含量之間的相關關系，可用矩陣的形式表示為^[1,4]：

[E]=[C][M] 　　　　　   (1)

式中[E]為元素重量百分含量構成的矩陣；[M]為礦物重量百分含量構成的矩陣；[C]為轉換系數(shù)，是方陣，系數(shù)Cij表示第j種礦物中第i種元素的含量。

通過求逆矩陣，就可以得到用元素百分含量表示的礦物重量百分含量，即

[M]=[C]^-1 [E]            (2)

式中[M]為礦物重量百分含量構成的矩陣；[C]^-1為轉換系數(shù)矩陣的逆矩陣；[E]為元素重量百分含量構成的矩陣。

表l是Herron等人給出的一個9種礦物的轉換系數(shù)，其中的XS Fe表示剩余鐵，w(H2O)min表示礦物中的水含量。

 

各地區(qū)地層所含礦物種類不盡相同，所用到的轉換系數(shù)也會略有差異，這種關系可以通過對本地區(qū)大量巖心分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計結果得到。如果還沒有建立起以本地區(qū)數(shù)據(jù)為基礎的轉換關系，最初可以采用通用的轉換關系或條件類似地區(qū)的轉換關系，然后逐漸由本地區(qū)分析數(shù)據(jù)結果加以修正^[5]。實際情況比較復雜，往往會遇到已知元素個數(shù)與所求礦物個數(shù)不相等的情況，這種情況下轉換系數(shù)矩陣不再是方陣，即超定或欠定方程，此時無法用普通逆矩陣的方法直接計算。即使在元素個數(shù)等于礦物個數(shù)的情況下，由于各地區(qū)礦物的化學性質的差異，所建立的轉換系數(shù)矩陣也不一定可逆?；谙禂?shù)矩陣的復雜多變性，筆者引入Moore-Penrose廣義逆矩陣的方法來求解矩陣方程。

2　廣義逆矩陣求解礦物含量

非齊次線性方程組：Ax＝b(其中A∈C^m×n，b∈C^m給定,x∈Cⁿ待定)的解主要有3種情況：①線性方程組相容，有唯一解；②線性方程組相容，有無窮多個解；③線性方程組不相容，不存在通常意義下的解，有最小二乘解，一般說來，矛盾方程組的最小二乘解不是唯一的。

實際問題中需要得到滿足實際要求的最佳解，②、③情況下的解顯然不能解決實際問題。所以應進一步在②的情況下求出線性方程組的極小范數(shù)解，在③的情況下求出極小范數(shù)最小二乘解。且這兩個解是唯一的。

由于廣義逆矩陣A⁺既是減號逆又是極小范數(shù)廣義逆、最小二乘廣義逆，故對于方程組Ax＝b，不論其是否有解，均可用A⁺來討論(y是任意n維向量)：

1)當Ax＝b相容時，x＝A+b+(I-A⁺A)y是通解；x＝A⁺b是極小范數(shù)解。

2)當Ax＝b不相容時，x＝A+b是極小范數(shù)最小二乘解；而x＝A+b+(I-A+A)y是最小二乘解的通解。

所以，無論線性方程組Ax＝b相容與否，都可以用x＝A+b求解線性方程組的極小范數(shù)解或極小范數(shù)最小二乘解。

A在不同的條件下，A⁺有很多種算法，但A⁺是唯一確定的。筆者使用奇異值分解的方法計算A⁺，該方法適合任何條件下的A，而無須對A進行分情況討論。

設A∈C^m×n的奇異值分解為A＝UårV^T，其中U∈C^m×m，V∈C^n×n都是酉矩陣，U^TU＝Im，V^TV＝In，

 

其中si>0(i＝l，2，r)。

則A⁺＝V∑r⁺U^T         (3)

式中A⁺為矩陣A的廣義逆矩陣；V是矩陣A奇異值分解得到的酉矩陣，V∈C^n×n，

 

U^T是矩陣A奇異值分解得到的酉矩陣的轉置，U^T∈C^m×m。

所以，線性方程組Ax＝b的極小范數(shù)解或極小范數(shù)最小二乘解可以表示為：

X＝V∑r⁺U^Tb           (4)

式中V是矩陣A奇異值分解得到的酉矩陣，V∈C^m×n，

 

U^T是矩陣A奇異值分解得到的西矩陣U的轉置，U^T∈C^m×m；b∈C^m給定。

3　實際應用

以Z井為例，由于還沒有建立起本地區(qū)的元素與礦物之間的轉換關系，所以首先借助于Herron提出的通用的轉換系數(shù)，然后根據(jù)本地區(qū)的數(shù)據(jù)資料進行修正。

該井ECS資料只有Al、Si、Fe、Ca、S、Ti、Gd(微量元素)7種元素，可用于上述轉換系數(shù)的只有前6種元素，K元素含量可以通過自然伽馬能譜測井獲得。由于缺少XS Fe和w(H2O)min數(shù)據(jù)，且全巖分析資料顯示該井段基本不含金紅石和菱鐵礦，所以將轉換系數(shù)初步修正為7種礦物對應7種元素的轉換系數(shù)(表2)。經檢驗，修正后的[C]矩陣仍然是方陣，且可逆。表3為通過公式[E]＝[C][M]，利用最小二乘法計算得到的部分結果。

 

 

從表3中可以看出該結果中多種礦物含量為負值，且有的礦物含量為大于l00％的值，這樣的結果顯然是不合理的。經分析檢驗，修正后的轉換系數(shù)矩陣條件數(shù)較大，為病態(tài)方程組，所以用一般的數(shù)值解法會有較大的誤差，甚至嚴重失真。所以需要根據(jù)本地區(qū)巖心的資料對轉換系數(shù)做更進一步的校正。

根據(jù)Z井的巖石樣品掃描電鏡分析資料和全巖分析數(shù)據(jù)，確定該井段的主要礦物有黏土、石英、鉀長石、斜長石、方解石、黃鐵礦及少量白云石。由于白云石的指示元素是Ca和Mg，而ECS測井資料沒有元素M9的數(shù)據(jù)，加之白云石含量較少且分布不均，所以此次轉換過程中忽略白云石。實際應用中可以利用巖性密度測井儀器，通過測量巖石的光電吸收截面指數(shù)(Pe)，可以導出Mg元素的重量百分含量^[6]。據(jù)此建立9種礦物模型，表4為9種礦物轉換系數(shù)表，該轉換系數(shù)的元素種類少于礦物種類，對應的系數(shù)矩陣[C]不可逆，線性方程組[E]＝[C][M]為不定方程，此時有無窮多組解。因此通過廣義逆矩陣A+可求出該方程組的極小范數(shù)最小二乘解。

 

圖1為利用廣義逆矩陣計算得到的礦物含量與實驗室全巖分析結果和斯倫貝謝測量結果的對比圖。圖中紅色曲線是利用廣義逆矩陣計算得到的礦物含量，黑色柱線是實驗室全巖分析得到的礦物含量，第6道的碳酸鹽的含量是方解石和白云石含量的和，由于作者轉換過程中沒有計算白云石，所以計算的碳酸鹽只含有方解石，第7道的砂質的含量是石英和長石含量的和，第8道的黏土是高嶺石、伊利石、蒙脫石含量的和。總的來說，該方法計算得到的礦物含量與實驗室全巖分析結果吻合得很好，很好地反映了礦物含量的變化趨勢，尤其是含量比較大的礦物，如黏土、砂質和石英，與全巖分析結果對應非常好；長石和黃鐵礦雖然有一定的差異，但誤差在行業(yè)標準之內；方解石出現(xiàn)差異是由于模型中假定為CaCO3，而巖石中出現(xiàn)CaO所引起的，為了消除這一影響，需要對Ca的氧化物指數(shù)做一個修正。

 

圖1中藍色曲線是斯倫貝謝利用Spectrolith模型計算得到的礦物含量，該模型通過Si、Ca、Fe 3種元素取代Al元素來做精確的黏七估算，而不再需要測量Al的含量。即

WClay＝1.91(1-2.139Wsi-2.497WCa-1.99WFe)        (5)

式中WClay 為地層中黏土的重量百分含量，Wsi、Wca、WFe分別為ECS測井得到的Si、Ca、Fe的百分含量。

碳組分碳酸鹽則由鈣組分的測量中精準地獲得，石膏鹽則由Ca和S的測量來確定，地層中的剩余組分則為QFM(石英+長石+云母)^[7-8]。從圖1中可以看出，筆者計算得到的砂質與斯倫貝謝計算的砂質吻合的非常好，變化趨勢基本一致；黏土和碳酸鹽吻合較好，整體變化趨勢一致；而黃鐵礦吻合效果較差，但筆者計算的結果與全巖分析的吻合效果優(yōu)于斯倫貝謝與全巖分析的吻合結果。

表5是對幾種主要礦物含量計算結果的誤差分析。從表5中可以看出，對于含量大于20％的黏土和砂質，筆者計算的礦物含量的平均相對誤差分別為9.6％和9.4％，均小于10％。雖然碳酸鹽和黃鐵礦的平均相對誤差較大，但由于這兩種礦物含量較少，這樣的結果也是可以接受的。與斯倫貝謝Spectrolith模型計算的結果相比，筆者計算的4種礦物的平均相對誤差均小于斯倫貝謝計算結果。

 

4　結論

1)通過建立元素與礦物之間的轉換關系，將地層元素測井測量得到的元素含量轉換為礦物含量，為解決地質問題提供了更加可靠有效的手段。地層元素測井在地層礦物識別、巖性劃分、確定地層黏土含量與類型、計算骨架參數(shù)以及研究沉積環(huán)境等方面^[9-10]，有著廣泛的應用前景。

2)本次算法的研究，主要是基于Herron提出的理論方法上的改進及應用。通過對實際井的處理，得到了理想的結果，說明該方法是可行的。如果能夠建立起本地區(qū)的轉換關系，該方法計算得到的結果將更加精確。

3)該算法主要利用Moore-Penrose廣義逆矩陣求解矩陣方程，該方法的優(yōu)點是對系數(shù)矩陣要求低，適用面廣泛，筆者僅對元素個數(shù)少于礦物個數(shù)的情況做了嘗試，但該方法同樣適用于元素個數(shù)與礦物個數(shù)相等或元素個數(shù)多于礦物個數(shù)的情況。

4)采用奇異值分解法求解廣義逆矩陣，更增加了該方法的適用性和簡潔性。

 

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本文作者：孫建孟  姜東  尹璐

作者單位：中國石油大學(華東)地球科學與技術學院