不同模型燃?xì)夤艿绖?dòng)態(tài)模擬的對(duì)比分析

摘 要

摘要：介紹了燃?xì)夤艿滥M的基本方程，分析了目前常用于燃?xì)夤艿绖?dòng)態(tài)模擬的數(shù)學(xué)模型及各自特點(diǎn)，通過計(jì)算實(shí)例分析了等溫模型與不等溫模型動(dòng)態(tài)模擬結(jié)果的誤差。關(guān)鍵詞：燃?xì)夤艿?；不穩(wěn)
摘要：介紹了燃?xì)夤艿滥M的基本方程，分析了目前常用于燃?xì)夤艿绖?dòng)態(tài)模擬的數(shù)學(xué)模型及各自特點(diǎn)，通過計(jì)算實(shí)例分析了等溫模型與不等溫模型動(dòng)態(tài)模擬結(jié)果的誤差。
關(guān)鍵詞：燃?xì)夤艿溃徊环€(wěn)定流動(dòng)；動(dòng)態(tài)模擬；等溫模型；不等溫模型
Comparative Analysis on Dynamic Simulation of Gas Pipeline by Different Models
LI Jun，YU Jian-jun
Abstract：The basic equations of gas pipeline simulation are introduced. The recently frequent mathematical models for dynamic simulation of gas pipeline and their respective characteristics are analyzed. The error of dynamic simulation results between isothermal model and non-isothermal model is analyzed by calculating examples.
Key words：gas pipeline；unstable flow；dynamic simulation；isothermal model；non-isothermal model
1 燃?xì)夤艿滥M的基本方程
    燃?xì)庠诠艿乐械牧鲃?dòng)是不穩(wěn)定流動(dòng)，并且可看成一元流動(dòng)，流體的壓力、密度、速度等參數(shù)是時(shí)間和管道長(zhǎng)度的函數(shù)。以管道軸線方向?yàn)楦曜鴺?biāo)，垂直于管道軸線為z坐標(biāo)，可根據(jù)流體力學(xué)知識(shí)建立燃?xì)庠诠艿纼?nèi)流動(dòng)的3個(gè)方程，具體如下[1]：
動(dòng)量方程：
 
式中p——燃?xì)獾慕^對(duì)壓力，Pa
    x——管道中任一斷面到首端的長(zhǎng)度，m
    ρ——燃?xì)獾拿芏?，kg/m3
    v——燃?xì)獾牧魉?，m/s
    t——時(shí)間，s
    g——重力加速度，m/s2
    θ——燃?xì)夤艿琅c水平面間的夾角，rad
    λ——摩擦阻力系數(shù)
    D——燃?xì)夤艿赖膬?nèi)徑，m
   連續(xù)性方程：
   
    能量方程：
   
式中Q——單位質(zhì)量燃?xì)庀蛲饨绶懦龅臒崃?，J/kg
    u——燃?xì)獾谋葻崃W(xué)能，J/kg
    z——管道中任一斷面到首端的相對(duì)高度，m
    h——燃?xì)獾谋褥?，J/kg
    將上述3個(gè)方程、氣體狀態(tài)方程、特定的初始條件和邊界條件聯(lián)立方程組，理論上可以求解燃?xì)夤艿廊我晃恢谩⑷我粫r(shí)刻的壓力、密度、流速、溫度等參數(shù)。但是由于這是一組非線性偏微分方程組，很難求其精確的解析解。目前常求得的解析解都是在特定的條件下對(duì)模型簡(jiǎn)化后得到的，因此，不具有普遍適用性。
2 管道動(dòng)態(tài)模擬常用的模型[1～7]
2.1 模型1
對(duì)于城市燃?xì)廨斉湎到y(tǒng)，多數(shù)情況下，管道內(nèi)燃?xì)獾牧鲃?dòng)可以認(rèn)為是等溫流動(dòng)，即燃?xì)鉁囟炔浑S時(shí)間和空間而變化，且等于管道周圍土壤的溫度，從而可以忽略能量方程(3)；另外，動(dòng)量方程中的慣性項(xiàng)和對(duì)流項(xiàng)在大多數(shù)情況下可以忽略不計(jì)，即：
 
    當(dāng)標(biāo)高的差值不太大時(shí)，重力項(xiàng)一般也可以忽略，即：
    ρgsinθ=0    (6)
    因此，可將基本方程(1)、(2)、(3)變換成如下的簡(jiǎn)化方程：
    動(dòng)量方程：
   
連續(xù)性方程：
 
式中c——聲速，m/s
   將式(7)、(8)化簡(jiǎn)和合并后變成如下形式：
   
式中A——管道流通面積，m2
   這是一個(gè)非線性拋物型方程，也是目前城市燃?xì)夤艿绖?dòng)態(tài)模擬中使用較廣泛的一個(gè)模型(以下簡(jiǎn)稱模型1)，可以用線性化的方法求得解析解。
2.2 模型2
    如果單位時(shí)間內(nèi)輸氣量的波動(dòng)較大，就需要考慮動(dòng)量方程中的慣性項(xiàng)，上述式(7)、(8)就變成如下形式：
動(dòng)量方程：
 
連續(xù)性方程：
 
    這是一個(gè)擬線性一階雙曲型方程組(以下簡(jiǎn)稱模型2)，通常可以采用有限差分法進(jìn)行求解。
2.3 模型3
在短的輸氣管道和摩擦阻力非常小的情況下可以不計(jì)摩擦阻力引起的壓力損失，即：
 
在這種情況下，式(11)變成如下形式：
 
聯(lián)立方程(12)、(14)，經(jīng)過變換可得：
 
    這是一個(gè)線性二階雙曲型方程，即著名的波動(dòng)方程(以下簡(jiǎn)稱模型3)，可以采用D’Alembert法進(jìn)行求解。
2.4 模型4
    上述3個(gè)模型在很多假設(shè)條件下得到，不具有普遍適用性。目前適用較普遍的等溫模型如下：
動(dòng)量方程：
 
連續(xù)性方程：
 
    此模型只忽略了動(dòng)量方程(1)中的對(duì)流項(xiàng)，即滿足方程(5)，而對(duì)流項(xiàng)只在燃?xì)饬魉贅O大(接近聲速)時(shí)才有意義，因此，該模型也是目前在等溫條件下管道動(dòng)態(tài)模擬精度較高的一種模型(以下簡(jiǎn)稱模型4)，用特征線法求解比較方便。
2.5 模型5——不等溫模型
    上述模型1、2、3、4都沒有考慮能量方程，即沒有考慮氣體溫度變化的影響。
    根據(jù)熱力學(xué)相關(guān)知識(shí)，并引入質(zhì)量流量l
    qm=ρvA    (18)
式中qm——氣體的質(zhì)量流量，kg/s
    將式(18)代入式(1)、(2)、(3)，經(jīng)變換后可得：
    動(dòng)量方程：
   
連續(xù)性方程：
 
能量方程：
 
式中K——管道的總傳熱系數(shù)，W/(m2·K)
    T——管道內(nèi)燃?xì)獾臏囟?，K
    To——管道埋深處土壤溫度，K
    此模型沒有忽略基本方程(1)、(2)、(3)中的任何項(xiàng)，是目前所有用于燃?xì)夤艿绖?dòng)態(tài)模擬的模型中精度最高的一種(以下簡(jiǎn)稱模型5)，可以采用特征線法和直接差分法進(jìn)行數(shù)值求解。
3 不同模型的計(jì)算結(jié)果比較
    本文針對(duì)后2種精度較高的模型(模型4和模型5)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。研究的算例如下：某長(zhǎng)輸燃?xì)夤艿篱L(zhǎng)度L為100km，管道內(nèi)徑為0.6m，管道入口絕對(duì)壓力為4MPa；管材為鋼管，其當(dāng)量絕對(duì)粗糙度為0.046mm；管道首端燃?xì)鉁囟葹?88K，管道埋深處的土壤溫度為288K；燃?xì)鈿庠礊槲鳉鈻|輸天然氣。試分析管道首端流量、終端壓力、終端溫度隨時(shí)間的變化情況。
初始條件：初始時(shí)刻(t=0)管道終端(x=L)流量qv(L，0)=50m3/s。邊界條件：管道首端(x=0)壓力p(0，t)=4MPa。管道終端流量隨時(shí)間變化函數(shù)qv(L，t)=f(t)，具體見圖1。
 

    本算例在以下兩種情況下進(jìn)行分析：
    ① 等溫流動(dòng)。管道溫度與土壤溫度同時(shí)保持288K不變，采用模型4進(jìn)行分析。
    ② 不等溫流動(dòng)。假設(shè)首端管道溫度與土壤溫度同時(shí)保持288K不變，總傳熱系數(shù)為1.2W/(m2·K)，采用模型5進(jìn)行分析。
根據(jù)以上兩種情況分別編制計(jì)算程序，兩種情況下的模型輸出結(jié)果如下：管道首端流量隨時(shí)間的變化曲線見圖2，管道終端壓力隨時(shí)間的變化曲線見圖3，管道終端溫度隨時(shí)間的變化曲線見圖4。
 

    從不等溫模型模擬結(jié)果可以看出，管道終端溫度隨時(shí)間的變化較為劇烈，這是因?yàn)槿細(xì)庠诠艿乐辛鲃?dòng)時(shí)，其溫度、流量、壓力相互關(guān)聯(lián)、相互影響，即受焦耳-湯姆遜效應(yīng)的影響，在流量隨時(shí)間變化較大時(shí)，壓力變化較大，溫度的變化也較劇烈，溫度隨流量的增大而降低，隨壓力的增大而升高。
定義絕對(duì)誤差的計(jì)算式為：
   △t=|Iim,t-Iequ,t|    (22)
   △max=max｛△1，△2，△3，…，△t，…｝   (23)
   △mean=mean｛△1，△2，△3，…，△t，…｝    (24)
式中△t——t時(shí)刻的絕對(duì)誤差
Iim,t——t時(shí)刻不等溫模型模擬值(流量、壓力、溫度等)
Iequ,t——t時(shí)刻等溫模型模擬值(流量、壓力、溫度等)
△max——最大絕對(duì)誤差
max——最大值函數(shù)
△mean——平均絕對(duì)誤差
mean——平均值函數(shù)
定義相對(duì)誤差的計(jì)算式為：
 
式中δt——t時(shí)刻的相對(duì)誤差
    δmax——最大相對(duì)誤差
    δmean——平均相對(duì)誤差
   不等溫模型與等溫模型模擬結(jié)果的誤差比較見表1、2。
表1 不等溫模型與等溫模型模擬結(jié)果的絕對(duì)誤差
項(xiàng)目
最大絕對(duì)誤差△max
平均絕對(duì)誤差△mean
首端流量/(m3·s-1)
2.97
0.97
終端壓力/MPa
0.09
0.03
終端溫度/K
12.09
4.67
表2 不等溫模型與等溫模型模擬結(jié)果的相對(duì)誤差
項(xiàng)    目
最大相對(duì)誤差δmax /%
平均相對(duì)誤差δmean /%
首端流量
7.75
1.68
終端壓力
4.95
1.30
終端溫度
4.38
1.65
4 結(jié)論
   ① 等溫模型與不等溫模型輸出結(jié)果存在著1.68%以下的平均相對(duì)誤差，這能滿足一般工程設(shè)計(jì)的精度要求(相對(duì)誤差小于5%)。
    ② 等溫模型與不等溫模型的最大相對(duì)誤差為7.75%，特別是溫度的最大絕對(duì)誤差達(dá)到12.09K，這說明對(duì)模擬精度要求較高的工作，管道的動(dòng)態(tài)模擬計(jì)算不能忽略溫度對(duì)結(jié)果的影響。
    ③ 本算例是在管道首端溫度與環(huán)境溫度相同的情況下進(jìn)行模擬的，如果初始溫度不同，溫度對(duì)模擬結(jié)果的影響可能會(huì)更大。
    ④ 目前用于燃?xì)夤艿绖?dòng)態(tài)模擬的模型較多，但各種模型都是根據(jù)一定的條件，由流體在管道內(nèi)流動(dòng)的基本方程式經(jīng)過適當(dāng)?shù)募僭O(shè)簡(jiǎn)化后推導(dǎo)得到的。因此，模型也有不同的適用范圍，在具體使用時(shí)，不僅要考慮模型求解的簡(jiǎn)易性，也要考慮模擬精度對(duì)結(jié)果的影響。
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(本文作者：李軍 玉建軍 天津城市建設(shè)學(xué)院 能源與機(jī)械工程系 天津 300384)